科学成就

拓扑学是现代数学的支柱之一，也是许多数学分支的基础。吴文俊从1946年开始研究拓扑学， 1974年后转向中国数学史研究，30年中在拓扑学领域取得了一系列重大成果，其中最著名的是“吴示性类”与“吴示嵌类”的引入以及“吴公式”的建立。

示性类是刻画流形与纤维丛的基本不变量， 1940年后开始起步研究瑞士的Stiefel，美国的Whitney，前苏联的Pontrjagin和陈省身等著名数学家先后从不同角度引入示性类的概念，但大都是描述性的。吴文俊将示性类概念从繁化简，从难变易，形成了系统的理论。他分析了Stiefel示性类，Whitney示性类Pontrjagin示性类和陈示性类之间的关系，指出陈示性类可以导出其他示性类，反之则不成立。他在示性类研究中还引入了新的方法和手段.在微分情形，吴文俊引出了一类示性类，被称为吴示性类。它不但是抽述性的抽象概念，而且是可具体计算的。吴文俊给出了Stiefel示性类和Whitney示性类可由吴示性类明确表示的公式，被称为是吴（第一）公式，他证明了示性类之间的关系式，被称为吴（第二）公式。这些公式给出各种示性类之间的关系与计算方法，从而导致一系列重要应用，使示性类理论成为拓扑学中完美的一章。

拓扑的嵌入理论是研究复杂几何体在欧氏空间的实现问题。在吴文俊之前，嵌入理论只有零散的结果，吴文俊提出了吴示嵌类等一系列拓扑不变量，研究了嵌入理论的核心，并由此发展了嵌入的统一理论。后来他将关于示嵌类的成果用于电路布线问题，给出线性图平面嵌入的新判定准则，与以往的判定准则在性质上是完全不同的，是可计算的。

在拓扑学研究中，吴文俊起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引发了大量的后续研究，他的工作也已经成为拓扑学的经典结果，半个世纪以来一直发挥着重要作用，在许多数学领域中应用，成为教科书中的定理。

中国传统数学强调构造性和算法化，注意解决科学实验和生产实践中提出的各类问题，往往把所得到的结论以各种原理的形式予以表述。吴文俊把中国传统数学的思想概括为机械化思想，指出它是贯穿于中国古代数学的精髓。吴列举大量事实说明，中国传统数学的机械化思想为近代数学的建立和发展做出了不可磨灭的贡献。1986年吴文俊第二次被邀请到国际数学家大会介绍这一发现。

20世纪70年代，吴文俊曾在计算机工厂劳动，切身体会到计算机的巨大威力，敏锐地觉察到计算机的极大发展潜力。他认为，计算机作为新的工具必将大范围地介入到数学研究中来，使数学家的聪明才智得到尽情发挥。由此得出结论，中国传统数学的机械化思想与现代计算机科学是相通的。计算机的飞速发展必将使中国传统数学的机械化思想得以发扬光大，机械化数学的发展必将为中国数学的发展做出巨大贡献。已故程民德院士认为：吴文俊倡导数学机械化，是从数学科学发展的战略高度提出的一种构想。数学机械化的实现，将对中国数学的振兴乃至复兴做出巨大贡献。吴文俊身体力行，在数学机械化的征途上奋勇攀登。在机器证明方面，他提出的用计算机证明几何定理的方法（国际上称为吴方法），遵循中国传统数学中几何代数化的思想，与通常基于逻辑的方法根本不同，首次实现了高效的几何定理自动证明，显现了无比的优越性。他的工作被称为自动推理领域的先驱性工作，并于1997年获得“Herbrand自动推理杰出成就奖”。在授奖辞中对他的工作给了这样的介绍与评价：“几何定理自动证明首先由赫伯特格兰特（HerbertGerlenter）于50年代开始研究。虽然得到一些有意义的结果，但在吴方法出现之前的20年里，这一领域进展甚微。”吴文俊的工作“不仅限于几何，他还给出了由开普勒定律推导牛顿定律，化学平衡问题与机器人问题的自动证明。他将几何定理证明从一个不太成功的领域变为最成功的领域之一。”在非线性方程组求解的方向上，他建立的吴消元法是求解代数方程组最完整的方法之一，是数学机械化研究的核心。80年代末，他将这一方法推广到偏微分代数方程组。他还给出了多元多项式组的零点结构定理，这是构造性代数几何的重要标志。

吴文俊特别重视数学机械化方法的应用，明确提出“数学机械化方法的成功应用，是数学机械化研究的生命线。”他不断开拓新的应用领域，如控制论、曲面拼接问题、机构设计、化学平衡问题、平面天体运行的中心构形等，还建立了解决全局优化问题的新方法。他的开拓性成果，导致了大量的后续性工作。吴消元法还被用于若干高科技领域，得到一系列国际领先的成果，包括曲面造型、机器人结构的位置分析、智能计算机辅助设计（CAD）、信息传输中的图像压缩等。数学机械化研究是由中国数学家开创的研究领域，并引起国外数学家的高度重视。吴方法传到国外后，一些著名学府和研究结构，如Ox-ford，INRIA，Cornell等，纷纷举办研讨会介绍和学习吴方法国际自动推理杂志JAR与美国数学会的“现代数学”，破例全文转载吴文俊的两篇论文。美国人工智能协会前主席W.Bledsoe等人主动写信给中国主管科技的领导人，称赞“吴关于平面几何定理自动证明的工作是一流的。他独自使中国在该领域进入国际领先地位”。

1974年以后，吴文俊开始研究中国数学史。作为一位有战略眼光的数学家，他一直在思索数学应该怎样发展，并终于在对中国数学史的研究中得到启发。中国古代数学曾高度发展，直到14世纪，在许多领域都处于国际领先地位，是名符其实的数学强国。但西方学者不了解也不承认中国古代数学的光辉成就，将其排斥在数学主流之外。吴文俊的研究起到了正本清源的作用。他指出，中国传统数学注意解方程，在代数学、几何学、极限概念等方面既有丰硕的成果，又有系统的理论。

刘徽于公元263年作《九章算术注》，把原见于《周髀算经》中测日高的方法扩张为一般的测望之学——重差术，附于勾股章之后。唐代把重差术这部分与九章分离，改称为《海岛算经》，原作有注有图，但已失传.现存《海岛算经》只剩9题，其中包括刘徽给出的两个关于海岛的基本公式，但没有证明。后人多次给出公式证明并力求复原刘徽原意。吴文俊研究后来的各种补证后，认为这些论证并不符合中国古代几何学的原意，尤其是西算传入后，用西方数学中添加平行线或代数方法甚至三角函数来证明是完全错误的。针对这些证明，他明确提出数学史研究的两条基本原理：

根据这两条忠于历史事实的原则，吴文俊对于《海岛算经》中的公式证明作了合理的复原，他认为重差理论来源于《周髀算经》，其证明基于相似勾股形的命题或与之等价的出入相补原理。他指出中国有自己独立的度量几何学理论，完全借助于西方欧几里得体系是很难解释通的。吴文俊在研究包括《海岛算经》在内的刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”，这个原理的表述十分简单：一个图形不论是平面还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一图形，则后一图形的面积或体积保持不变。这个常识性的原理在中国古算中经过巧妙运用得出许多意想不到的结果。出入相补原理的提出是吴文俊在中国数学史研究中的一项重要成果。